Phân số liên tục ở dạng chính tắc là biểu thức có dạng

x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}

trong đó a0 là một số nguyên không âm và tất cả các số an là số nguyên dương.

Phân số liên tục có thể biểu diễn chính xác các số thực.

Dạng tổng quát hơn là:

x = a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}

trong đó bn là số nguyên dương.

Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực:

r = ∑ i = 0 ∞ a i 10 − i {\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}}

trong đó a0, là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số ai là một phần tử của {0, 1, 2,..., 9}. Trong cách biểu diễn này, số Pi biểu diễn bởi dãy {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...}.

Tuy thế, theo cách biểu này có một số giới hạn. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác biểu diễn của các số hữu tỷ p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} với q lớn hơn 1, trong hệ thập phân là vô hạn, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3,....}.[cần dẫn nguồn] Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, số 1 có thể biểu diễn bằng cách khác 0.999...=1.

Phân số liên tục đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số 43 93 {\displaystyle {\frac {43}{93}}} xấp xỉ với 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , ta muốn giữ nguyên tử số 1 thay mẫu số 2 bằng một số khác, chính xác hơn là 2 + 7 43 {\displaystyle 2+{\frac {7}{43}}} , khi đó có thể viết

415 93 = 4 + 43 93 = 4 + 1 93 43 = 4 + 1 2 + 7 43 = 4 + 1 2 + 1 43 7 = 4 + 1 2 + 1 6 + 1 7 {\displaystyle {\frac {415}{93}}=4+{\frac {43}{93}}=4+{\cfrac {1}{\cfrac {93}{43}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {7}{43}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cfrac {43}{7}}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}} .Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết 415 93 = 4 + 1 2 + + 1 6 + + 1 7 {\displaystyle {\frac {415}{93}}=4+{\frac {1}{2+}}+{\frac {1}{6+}}+{\frac {1}{7}}} hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)),hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7].

Có thể chứng minh rằng:Dạng phân số liên tục của một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ.Và dạng phân số liên tục của một số là vô hạn khi và chỉ khi số đó là vô tỷ.